Вы считаете данное Вами определение математики исчерпывающим?
- 1.Это не определение математики, это характеристика того, что она познает. Определения математики больше направлены на объект - количественные свойства и отношения, пространственные формы. Известное определение -
Математика — это наука, которая изучает числа, пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Математика также имеет своим объектом изучения логические конструкции.- 2.Это "определение" не "мое", (спасибо, конечно, но мне чужой славы не надо) и существует "оно" уже десятки лет.
я о другом писала. Результат математического моделирования не имеет такой доказательной силы, как результат физического измерения, наблюдения.
- Как сказал П. Рашевский - "законы геометрии обязательны для природы потому и постольку, поскольку они из нее извлечены".
Поскольку модель и вычислительный эксперимент обладают предсказательной способностью , они имеют и доказательную силу.
Математика, прежде чем изучать своими методами какое‑нибудь явление, создает его математическую модель, то есть перечисляет все те особенности явления, которые будут приниматься во внимание. Модель принуждает исследователя выбирать те математические средства, которые позволят вполне адекватно передать особенности изучаемого явления и его эволюции.
Понятно, что в модель параметры закладываются руками и, в принципе, отслеживать их проще (в принципе, но на практике может просто не хватить ресурсов), чем извлекать из наблюдательных данных.
- Ядерная зима. Создать в лаборатории и наблюдать в лаборатории события планетарного масштаба невозможно. В натурном эксперименте в опытной установке нередко просто невозможно бывает воссоздать некоторые критические режимы или экстремальные условия. Поэтому математическое моделирование может оказаться практически единственно возможным способом исследования. Когда нужно изучить влияние городской застройки на параметры распространения радиосигнала, проводят вычислительный эксперимент:
(средняя напряженность электромагнитного поля) представляет собой результат сложного взаимодействия физических процессов, протекающих при распространении сигнала: прохождение сигнала сквозь здания и сооружения; воздействие на сигнал помех искусственного и естественного происхождения; атмосферная рефракция сигнала; отражения сигнала от зданий и от земной поверхности; потери энергии сигнала в осадках и др. В данном случае окружающую среду можно исследовать, строя соответствующую ММ, которая должна позволять предсказывать уровень сигнала при заданной конфигурации застройки, рельефе местности, погодных условиях и т. п. Масштабы среды распространения сигнала настолько грандиозны, что эксперимент даже в одном каком-то регионе требует существенных затрат.
Таким образом, глобальный эксперимент по исследованию распространения сигнала возможен, но не натурный, а вычислительный, проводящий исследования не реальной системы (окружающей среды), а ее ММ. В науке и технике известно немало областей, в которых вычислительный эксперимент оказывается единственно возможным при исследовании сложных систем.-к настоящему моменту остается лишь вопрос об изучении математикой закономерностей реального мира
Пардон... перед кем он остаётся?
- перед теми читателями темы, которые пока на него не ответили.
Вы что-то хотите у меня спросить о том, как математические модели помогают изучать закономерности реального мира?
- Дык, с Вашими высказываниями все ясно. Говоря политкорректно, части физиков свойственна в некотором роде ортодоксальная точка зрения - математика лишь язык для других наук. Самые ортодоксальные высказывания здесь принадлежат Вам, менее ортодоксальные - Фейнману, который все же не сводил математику лишь к языку. Злые языки утверждают, что у физиков эта ортодоксальность связана с тем, что они, физики, лишь пользователи готового формального аппарата.
Однако существо вопроса, который мы тут затронули, требует выхода за рамки частных дисциплин на общенаучный уровень.
Поскольку цитированные здесь утверждения физиков и математиков Севастьянова, Александрова,Охлопкова, Сойера, M. S. Leifer -
...математика изучает закономерные явления реального мира... - давно стали банальностью, напечатанной в методичках для учителей, казалось неожиданным встретить сегодня ортодоксальное отрицание этого положения. Даже от физика. Который заявляет, что это мнения. Поскольку обоснования есть:
С общенаучных позиций:
1А). Наука изучает закономерности реального мира
2А). Математика - наука.
3А). Следовательно, математика изучает закономерности реального мира
а) основной принцип научности - изучение законов и закономерностей
б) математика - наука
в) следовательно, математика изучает законы и закономерности
С позиций специфики объекта и предмета математики:
4А. Специфика математики - высокая степень абстрактности ее понятий.
5А. Связь математических понятий с реальным миром является опосредованной.
6А. Объект математики, как и любой другой науки - те вещи, свойства и отношения реальности, которые находят в науке свое выражение.
7А. Предмет математики - иерархия систем абстрактных идеализированных объектов в единстве их идеального содержания и материальной, знаковой формы.
8А.Математическая теория описывает свойства системы абстрактных идеализированных объектов, созданных в ее рамках. Следовательно, научная теория имеет два уровня: 1.она является теорией своего предмета (системы абстрактных идеализированных объектов) и 2. опосредованно является теорией того фрагмента объективной реальности, который является ее объектом.
Именно поэтому теории применяются для решения практических задач. (Напомним здесь, что теория - высшая форма организации знания, а ее ключевой элемент - закон).
9А. На первом этапе решения задачи производят формализацию содержания, превращая ее в совокупность формул, на втором - осуществляют формальные преобразования знаковых выражений в соответствии с принятыми алгоритмами, на третьем - дают интерпретацию формул в терминах той науки, к которой относится решаемая задача.
Таким образом, формулы исчисления в рамках решаемой задачи отображают некое объективное содержание, затем они транслируют это содержание при производстве математических действий, придавая ему новую структуру, благодаря чему итоговые формулы обнаруживают при интерпретации новые элементы содержания, которые не были видны ранее, но присутствовали там не выраженно.
Вывод: будучи наукой о мире, математика посредством системы понятий - абстрактных идеализированных объектов - дает истинное отображение некоторых свойств этого мира, (через предмет математики отображаются объективные свойства мира - количественные свойства и отношения, пространственные формы, которые составляют ее объект).
Именно поэтому между математикой как теорией и математикой как методом существует единство: теория вследствие ее истинности оказывается методологически эффективной (практически полезной), а метод - теоретически обоснованным (истинным).
Теперь что в теме есть "против" -
- 1Б) - математика не отвечает критериям научного метода
- 2Б) - она не обязана проверяться опытом
- 3Б) - вполне себе может основываться на аксиомах, которые в принципе невозможно проверить
Все три высказывания не есть аргумент, потому что:
- в первой посылке не указано, каким именно критериям якобы не соответствует математика
- во второй присутствует голословное отрицание имеющихся фактов проверки математических моделей и теорий на практике.
Для проверки адекватности математической модели реальному процессу сравнивают результаты измерений на объекте в ходе процесса с результатами предсказания модели в идентичных условиях. Этот этап включен в эксперимент как обязательный.
- в третьей посылке непонятно, зачем нужно проверять аксиомы - они являются не исходным началом познания, а скорее его промежуточным результатом. Они обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых составных элементов теории: подтверждение теории есть одновременно и подтверждение ее аксиом.
Критерии выбора аксиом меняются от теории к теории и являются во многом прагматическими, учитывающими соображения краткости, удобства манипулирования, минимизации числа исходных понятий. Отсюда следует, что проверка аксиом - оксюморон.
- три посылки не сопровождаются заключением - что, собственно, должно из них следовать?
На стр. 55, Фейнман -
(Математика, с нашей точки зрения, не наука, не наука в том смысле, что она не относится к естественным наукам. Ведь мерило ее справедливости отнюдь не опыт.)
Отсюда тезисно следует:
4Б - Математика не относится к естественным наукам
5Б - Математика не проверяет себя опытом
4Б - иррелевантно к сути обсуждаемого утверждения.
5Б - этому противоречит существование хотя бы вычислительного эксперимента.
По-видимому, Фейнман имел в виду отсутствие натурных экспериментов в математике. Это с его стороны абсолютизация научного метода - раз в физике так, то и везде должно быть так. Эта абсолютизация не учитывает специфики математики - она начинает работать не на эмпирическом, а на дальнейших уровнях познания.